Notas y números: La conexión pitagórica en la música
Como seres humanos, somos inherentemente musicales. La música no sólo nos rodea en cada momento de nuestras vidas, sino que también toca las fibras más profundas de nuestra comprensión del mundo. Para mí, la música es más que un simple disfrute; es un puente entre el arte y la ciencia, un lugar donde la física, la biología y la matemática se entrelazan.
La conexión entre la música como la conocemos hoy y la matemática se remonta a siglos atrás. Hace aproximadamente 500 años a.C., Pitágoras, inspirado por las melodías de la antigua Mesopotamia, se propuso explorar el sonido de una manera más científica. Con un profundo interés en "matematizar" el sonido, experimentó con un instrumento llamado monocordio. El monocordio es un instrumento como este,
La imagen muestra un monocordio moderno, que aunque cuenta con dos cuerdas, guarda la esencia de los instrumentos que Pitágoras podría haber utilizado. Esta imagen que encontré y adapté de Wikipedia, no es exactamente de su época, pero refleja el concepto fundamental que él exploraba. Lo interesante de este monocordio es su puente móvil, una característica que permite ajustar el largo de la cuerda. Esta mecánica cambia la vibración y, por ende, el tono que produce el instrumento, lo que permite establecer una relación numérica entre sonido y largo de cuerda.
Pitágoras empezó a experimentar ajustando la longitud de la cuerda y notó que, al alcanzar cierta distancia, la nota producida sonaba armoniosa junto a la nota original (esto es, con el puente móvil en la posición inicial). Para experimentar esto de manera similar, podemos utilizar el siguiente script,
Al deslizar el círculo azul, estarán cambiando la frecuencia de una de las cuerdas (de forma simulada). Verán que, dependiendo de su posición, las dos cuerdas pueden sonar en armonía o no, y al decir "en armonía" me refiero a un sonido que es agradable y simple. Aquí les dejo un desafío interesante: intenten encontrar puntos a lo largo del deslizador donde la combinación de sonidos les parezca especialmente agradable. Es probable que encuentren varios de estos puntos, pero habrá uno que destaque por su intensidad y simplemente porque nos suena bien. Incluso si no tienen experiencia en música, notarán que este punto suena mejor que los demás. Para ayudarlos a encontrarlo, les indico aproximadamente dónde está esa nota especial. Muevan el círculo azul hacia esa marca y experimenten por ustedes mismos.
Descubrimos que el punto en el que las notas suenan particularmente armoniosas corresponde a una frecuencia de 440 Hz (una medida de vibración) multiplicada por 3/2. Esto es precisamente lo que Pitágoras halló en sus experimentos. Inspirado por este hallazgo, se planteó cómo definir una serie de notas agradables al oído, con las que se pudieran construir melodías simples.
Si siguen experimentando con el script, notarán que una frecuencia de 880 Hz también produce un sonido armonioso. Curiosamente, 880 Hz es el doble de 440 Hz. Así que, si consideramos los sonidos en un rango de 1 a 2, donde 1 equivale a 440 Hz y 2 a 880 Hz, podemos empezar a calcular una serie de notas útiles para crear melodías. Este enfoque nos permite explorar cómo las proporciones y las relaciones matemáticas pueden aplicarse a la música para generar armonía.Veamos,
Pitágoras desarrolló un método para crear una serie de notas basándose en la proporción de 3/2. Comenzando con 1 (equivalente a una frecuencia de 440 Hz), multiplica sucesivamente por 3/2 para obtener la siguiente nota. Así, la primera multiplicación nos da 3/2. Al multiplicar nuevamente 3/2 por 3/2 obtenemos 9/4, pero como esto supera 2, dividimos el resultado entre 2, resultando en 9/8. Este proceso se repite hasta generar 5 notas. La última nota se obtiene simplemente tomando 2 y dividiéndolo entre 3/2, lo cual nos da 4/3.
A través de este método, Pitágoras logró construir una secuencia de 8 notas que forman lo que hoy conocemos como la escala pitagórica. La escala pitagórica no sólo muestra cómo las proporciones matemáticas pueden crear armonía, sino que también establece una base sobre la cual se pueden construir melodías complejas. Escuchemos la escala,
¿Les resulta familiar? Esta es la base de la escala musical que nos han enseñado desde siempre. Para aquellos con formación musical, puede que noten algo peculiar: no suena exactamente como estamos acostumbrados. Y hay más. Si empezamos a tocar notas cada vez más altas y las combinamos con notas más bajas, percibiremos que algo no encaja del todo, como si sonara "desafinado".
Este fenómeno se debe a que, aunque la escala pitagórica es matemáticamente en cierto rango, va perdiendo precisión a medida que hacemos los cálculos de frecuencias más altas, y debido a la naturaleza física del sonido, y de la aproximación matemática de estos intervalos.
Para entender mejor que algo nos suena desafinado, muevan el siguiente slider, que toca dos notas y a una de ellas, le cambia ligeramente la frecuencia,
Cuando dos notas no comparten exactamente la misma frecuencia, es posible observar un fenómeno de oscilación en el sonido, como si la nota se "encendiera" y "apagara" alternadamente. Este efecto, perceptible incluso para quienes no tienen formación musical, indica que dos notas, no están perfectamente afinadas entre sí. En las animaciones que representan estas oscilaciones, se puede ver cómo la forma de la onda cambia, haciéndose más grande y luego más pequeña, cuando las dos notas no son idénticas.
Ahora comparemos dos notas que deberían sonar bien juntas, calculadas con los intervalos de pitágoras,
¡Hay algo que no suena exactamente bien! debería sonar perfecto y en lugar se siente una oscilación, además de observarse en el gráfico de la onda. De hecho el sonido es bastante desagradable.
Este aspecto es fundamental cuando hablamos de instrumentos musicales. Por ejemplo, en el violín, que carece de trastes, podemos solucionar cualquier desafinación ajustando la posición de los dedos sobre las cuerdas mientras tocamos. Esto nos da una flexibilidad enorme para asegurarnos de que cada nota suene justa.
Pero por otro lado, en instrumentos como el piano o la guitarra, las notas están fijadas de antemano por los trastes o las teclas. Esto significa que no podemos ajustar las notas en el momento, haciendo que la elección de cómo se afinan estas notas sea crítica. Debemos encontrar un compromiso entre la exactitud matemática de las frecuencias y cómo nuestro oído percibe la armonía. La incapacidad de hacer ajustes instantáneos en estos instrumentos nos lleva a una cuidadosa consideración de su afinación, buscando el mejor equilibrio posible.
Para solucionar los problemas de entonación encontrados en estas escalas pìtagóricas, a lo largo de la historia se han modificado y creado diversas escalas. Además, se han inventado instrumentos específicos con el objetivo de compensar estas discrepancias. Un ejemplo es el Clavemusicum Omnitonum, un instrumento del Renacimiento en el siglo XV. Con su diseño, el Clavemusicum intentaba ofrecer una mayor flexibilidad en la afinación, permitiendo a los músicos ajustar la afinación del instrumento a las música que se tocara en ellos.
En la actualidad, la escala más comúnmente utilizada es la del temperamento igual, que se basa en dividir el espectro de frecuencias entre 440 Hz y 880 Hz (o en términos más generales, un rango de 1 a 2) en 12 notas. Estas notas están separadas entre sí por distancias iguales, conocidas como semitonos. Cada paso (semitono) corresponde a la raíz duodécima de 2. Esta división asegura que cada nota esté separada de la siguiente por exactamente el mismo intervalo, lo cual simplifica la composición y ejecución de la música en diversas tonalidades.
Para hacer una comparación entre las dos escalas, pitagórica y de temperamento igual, acá hago sonar las notas de ambas al mismo tiempo,
¿Notaron la diferencia? Van a escuchar una oscilación como de desafinación en algunas notas. De hecho las únicas exactamente iguales son la primera y la última. Esta afinación, permite que los pianos suenen bien en cualquier tonalidad, con un compromiso pequeño y aceptable, y que permite tocar una melodía, y grupos de notas en conjunto, bien en cualquier lugar del instrumento.
El desafío que presenta la escala musical no reside en la elección de la frecuencia inicial, ya que es posible comenzar con cualquier frecuencia y desarrollar una escala a partir de ella. La verdadera complejidad surge al decidir los intervalos entre las notas. Al tocar melodías, que son secuencias de notas individuales, o armonías, donde varias notas suenan simultáneamente, la elección de estos intervalos tiene un impacto significativo en cómo percibimos la música.
Dependiendo del rango de las notas y del método utilizado para calcular los intervalos, es posible que algunas combinaciones nos suenen "duras". Esta descripción, aunque subjetiva, apunta a sonidos que, aunque técnicamente correctos, no resultan tan agradables al oído como podríamos esperar.
Comentario final
La música es verdaderamente un cruce de caminos donde la física, la biología y la matemática se encuentran. Entender y aprender música como tal fenómeno puede transformar la educación, rompiendo la idea de que el conocimiento es un conjunto de islas separadas que deben enseñarse sin interconexión alguna.
Así como definimos matemáticamente los intervalos entre notas, los animo a explorar y crear con escalas propias (modifiquen los códigos de este artículo). No hay ninguna regla que nos obligue a quedarnos exclusivamente a las escalas tradicionales. De hecho, muchas culturas alrededor del mundo han desarrollado sus propias escalas, dando lugar a estilos musicales únicos. Es una invitación abierta a descubrir y experimentar.
Fomentemos en nuestros estudiantes la curiosidad por construir sus propias ideas musicales y a jugar con ellas desde una perspectiva matemática y computacional. Esto no sólo enriquecerá su comprensión de la música, sino que también les enseñará el valor de la innovación y la experimentación en cualquier campo del conocimiento.
La matemática nunca ha sido otra cosa más que música.
Director Escuela de Sistemas Inteligentes
Universidad CENFOTEC
